Проверьте правильность решения и ответа, с ответом в калькуляторах пределов не сходится, а ошибку никак не могу найти ни в одном ни в другом примере. Помогите пожалуйста.
1. Найти предел, используя эквивалентные бмф
lim(x->0)(cos(2*x)-cos(4*x))/(3*(x^2))

cos(2*x)=(1-cos(2*x)-1~((2*x)^2)/2-1=2*(x)^2-1
cos(4*x)=(1-cos(4*x)-1~((4*x)^2)/2-1=8*(x)^2-1

lim(x->0)((2*(x)^2-1)-(8*(x)^2-1))/(3*(x^2))=-2

2. Доказать, что функции являются бесконечно малыми одного порядка малости.
f(x)=sin(7*x)+sin(x), g(x)=4*x
lim(x->0)(sin(7*x)+sin(x))/(4*x)= lim(x->0)(2*sin(4*x)*cos(3*x))/4*x (в числителе применили формулу суммы синусов)
=2 lim(x->0)(sin(4*x))/(4*x)*cos(3*x)= 2 lim(x->0)(sin(4*x))/(4*x)*lim(x->0)cos(3*x)= 2*1*1=2

Почему у Вас cos(2x) = 1 - cos(2x)? И то же для 4х.

Спасибо большое переделала и со знаком сразу стало все в порядке
я добавила 1 и вычла 1, чтобы привести к виду 1-cosx и воспользоваться эквивалентной бмф, а то что минус перед косинусом появился упустила из вида.

И второй пример посмотрите пожалуйста

Ну предел Вы правильно нашли. Что из этого следует?

Если существует конечный предел отличный от нуля, то функции являются бесконечно малыми одного порядка малости, это понятно. Смущало решение предела, все онлайн-калькуляторы выдают ответ 1,5 или 3/2, а у меня получилось 2, хотя вроде решение правильное.
Спасибо большое, может я как-нибудь криво в калькуляторы функцию записывала...

Возможно, Вы вместо плюса ставили минус в числителе, тогда да, получится 3/2.