integrate 1/(3sin(x)+4cos(x)+5)dx подскажите плз каким методом он решается?

Универсальная тригонометрическая подстановка.

это выразить синус и косинус через тангенс?

тангенс половинного аргумента

довел до разложения на 2 интеграла :
1/2 integrate 1/(tg(x/2)+3)^2d(x/2) + 1/2 integrate (tg(x/2))^2/(tg(x/2)+3)^2d(x/2)
дальше нужно делать замену tg(x/2)=t или что?

Показывайте решение, вы что-то не то сделали. После того, как вы сделаете замену tg(x/2)=t, тангенса просто не должно остаться.
Поищите примеры на форуме или погуглите, я так понимаю вы просто синус и косинус выразили через тангенс половинного. Универсальная тригонометрическая подстановка делается немного не так. Хотя можете теперь делать

По-моему, проще будет преобразовать 3sin(x)+4cos(x) = 5*cos(x-f), где cos(f) = 4/5, sin(f) = 3/5, и сделать замену x-f = 2t. В знаменателе будет 5cos(2t) + 5 = 5*2*cos^2(t). Дальше всё просто.

или так