Подскажите, какими свойствами должны обладать функции F(i,j), чтобы выполнялось условие:

где pi(i,j) - вероятности.

очень похоже на вопрос "при каких условиях мат.ожидание неотрицательно".

Тем свойством, чтобы указанная сумма была неотрицательной.
Другой ответ в условиях "догадайся, что имеется в виду" невозможен.

отличный ответ. остроумный и главное очень полезный:)
самое простое условие: F(i,j)>=0 для любых i и j, но оно довольно строгое. Мне нужно что-то по-слабее.

З.Ы. извеняюсь если плохо объяснил условие.

К сожалению, этот ответ - единственный возможный вид необходимого и достаточного условия.