y''+8siny(cos(y)^3)=0
здесь надо проинтегрировать два раза? или есть какой то другой способ решения
y'=4cos(y)^4+C
y=int(4cos(y)^4+C)

Если там косинус в кубе,а не его аргумент, то можно домножить на 2*y', тогда первое слагаемое будет производной от (y')^2, а второе - от 4*[cos(y)]^4. При интегрировании не забудьте добавлять константы.

да понялв,Ю я переделала.
y'^2=(Cos(y)^4)/2+c
y'=+-sqrt(Cos(y)^4)/2+c)
int(dy/sqrt(Cos(y)^4)/2+c))=int +-dx
а такой интеграл(в левой части) как посчитать?

У Вас просто дифур или задача Коши?

вообще то есть начальные условия и пробовала их подставлять..y(0)=0 y'(0)=3
подставляла вместо y=0, а вместо y'=3 получила:
y'^2=cos(y)^4/2+8.5

(y')^2 - 4*[cos(y)]^4 = С
y'(0) точно равно 3? Потому что было бы проще гораздо,если бы оно равнялось 2 - тогда константа равна нулю и всё здорово.

да, конечно, а в этом случае с=5, и ничего хорошего. попробую проверить, потому как второе похожее уравнение y"=72y^3 c "хорошими" начальными условиями

проверили, правильные условия
что можно дальше сделать..
y')^2 =4*[cos(y)]^4 +5
y'=(4*[cos(y)]^4 +5)^0.5
int dy/(4*[cos(y)]^4 +5)^0.5=x+c1