Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующие задания:
1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
L1 = < a1, a2, a3 > и L2 = < b1, b2, b3 > , если :
a1 = (1, 2, 1)T b1= (2, 3, -1)T
a2 = (1, 1, -1)T b2 = (1, 2, 2T
a3 = (1, 3, 3)T b3 = (1, 1, - 3)T


2). Разложить вектор X на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a1, a2, a3 , а другой ортогонален к этому подпространству.
X = (-3, 5, 9, 3) T

a1 = (1, 1, 1, 1) T a2 = (2, - 1, 1, 1) T a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T

хм...
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=7381&hl=
http://eqworld.ipmnet.ru/forum/viewtopic.php?f=10&p=75

правила форума

пример

Простите, я просто не понимаю геометрию и алгебру, если бы кто-нибудь хотя бы намекнул, как делать. Или дал алгоритм, я читала учебники, но как применить то, что там написано не знаю

вы по ссылке на пример ходили?

да, я его уже скачала, пытаюсь разобраться.
Мне нужно найти базис a и b? т.е. составить систему как в примере? а если у меня транспонир. то строки меняются на столбцы? А потом, что останется от a и b записать вместе- базис суммы, а количество векторов будет размерностью суммы ? Подскажите, пожалуйста

Вам надо найти базис L1 и L2. Т.е., например, для L1, вам нужно выяснить, какие из векторов а1, а2, а3 являются линейно независимыми. Для этого нужно записать матрицу, состоящую из координат данных векторов (как вы будете записывать координаты, по столбцу или строке, значения не имеет, т.к. строчный ранг матрицы равен ее столбцовому) и найти ее ранг. Строки матрицы назвать соответственно вектору, из координат которого она состоит (это нужно для составления базиса). Ранг равен размерности простарнства.

Аналогично находите базис подпространства L2.

Для нахождения базиса суммы подпространств L1+L2 составляете матрицу по строкам которой записаны координаты базисных векторов каждого подпространства. Находите ее ранг.

У меня получился базис L1 (a1,a2) ранг 2
базис L2 (b2,b3) ранг 2
базис L1+L2 (a1,b2,b3) ранг 3
Правильно?
Простите, вы не подскажите мне с пересечением?

сейчас посчитаю.

Теперь посмотрите формулу Грассмана

Я не нашла формулу Грассмана, и в интернете тоже

так

так

у меня базис другой получился

здесь есть формула Грассмана:
(8.2) dim(L1 + L2 ) = dim(L1 ) + dim(L2 ) − dim(L1 ∩ L2 ).

Я пересчитала у меня базис теперь (a1, a2,b2) А это принципиально или можно любой написать?
dim(L1 ∩ L2 ) = 1
а базис можно так же? тогда получится (если базис теперь (a1, a2,b2)) базис (b3).

Спасибо вам огромное, что вы мне помогаете.

ну вроде так, хотя можно составить и еще один базис (a1, a2,b3). Что знаит любой?

так. Смотрите по примеру, как находили базисный вектор пересечения подпространств. (стр. 58-59)

у меня почему -то все нули получаются.

не должно так быть. Трудно сказать почему, будет, наверное, проще, если выложите свое решение.

"Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований" - это я так понимаю та же матрица, что мы составляли для нахождения базиса суммы. У меня эта матрица после упрощений приняла вид:
0 0 -1
1 1 -1
0 1 3
0 0 0
И составляя систему уравнений получаю, что все нули

Практически эта матрица. Конечно, лучше было бы если бы вы ее получили самостоятельно, для этого разложили искомый вектор по базисным векторам каждого из подпространств. В итоге у вас должна получиться матрица
1 1 -1 -1
2 1 -2 -1
1 -1 -2 3
По столбцам записаны координаты базисных векторов а1, а2, -b2, -b3. Работайте с этой матрицей.

Я преобразовала матрицу, записала систему уравнений и у меня получился базис с=a1+a2=1/2b2 +1/2 b3

сделаем проверку:
с=a1+a2=(1,2,1)+(1,1,-1)=(2,3,0)
с=b2/2 +b3/2=(1/2)*[(1,2,2)+(1,1,-3)]=(1/2)*(2,3,-1)=(1,3/2,-1/2)
А должны получиться одни и теже координаты. Значит где-то ошибка.

Получилось с= 2a1+a2=2b2+b3. Проверила, получились одни и те же координаты.

Честно говоря, проверять не хочется, будем надеяться, что правильно.

Спасибо вам огромное!!!

Пожалуйста.
П.С. Что касается второго задания, посмотрите там же (стр.72). И посмотрите еще информацию по этой теме.

А можно, если я не пойму, у вас спросить?

У меня во второй задаче получился ранг системы равен 2, базис (a1,a2), а дальше я в затруднении. Не понимаю, как найти элементы матрицы Грама. Если вам не трудно, подскажите, пожалуйста.

например, элемент е11 матрицы Грама равен:
е11=(а1,а1), т.е. скалярному произведению вектора а1 на вектор а1.
Аналогично находите е12, е21 и е22.

Спасибо.
У меня получилось e11=4, e12=e21=3, e22=7
Элементы столбца свободных членов b1=14, b=1
...
y1=5 y2=-2
А дальше вы мне не подскажите?

искомый вектор у=у1*а1+у2*а2=...

y=(1,7,3,3) Но ведь в задании было разложить вектор x на сумму 2 векторов, а у нас тока один

смотрим теперь третье определение на странице 72:
х=y+z => z=x-y.
Для проверки: вектор z должен быть ортогональным вектору у (т.е. их скалярное произведение должно равняться нулю).

И еще я здесь между делом решила 4 задачу :
Линейный оператор φ переводит векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.
Найти матрицу оператора φ в том же базисе, в котором заданы координатами все векторы:
a1 = (1, 2, -3) T a2 = (0, 1, 2) T a3 = (1, 0, 4) T
b1= (1, 1, 1) T b2 = (1, 2, 1) T b3 = (0, 1, 1) T

Вы не посмотрите?
Вот решение:
как на странице 53
составила уравнения, нашла коэффициенты, в итоге матрица

5 7 1
1 8 9 умножить на 1/11
6 4 1

Все посчитала, скалярное произведение равно 0.
Спасибо большое!!!!!!!!

Вроде все верно, только элемент а[3,3] у меня получился -1.

и у меня

Я так рада, целых три задачи решили!!!!!!!!! Спасибо вам, спасибо
А вот третью и пятую я в методичке не нашла. Вы не подскажите?

В условии речь шла только о двух. Какое условие у 3 и 5 задачи? Т.к. в первом сообщении были только задачи под номерами 1 и 2.

3) Если линейный оператор φ , действующий в пространстве L n , имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2, … en, соответствующих собственным числам λ1, λ2, …..λn, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид с диагональными элементами, равными собственным числам.
Для заданной матрицы оператора найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.
матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1

Находите собсвенные значения и собственные векторы данной матрицы.
Далее записуете матрицу В, по столбцам котрой записаны координаты собственных векторов.
Искомый диагональный вид: А'=B^(-1)*A*B.
Проверка: должна получиться диаональная матрица, на главной диагонали которой будут стоять собственные значения.

Не знаю как посчитать определитель матрицы 4x4. Нашла даже примерчик, но не понимаю, как они сделали пример

Вы мне не подскажите?

А какой у Вас определитель?

матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1
Получается, что надо найти определитель:
-λ 1 0 0
0 -λ 1 0
0 0 -λ 1
-6 1 7 -1-λ

Раскладываем по первому столбцу: каждый элемент первого столбца поочередно со знаками + и - домножаем на определитель матрицы, которая получится из данной вычеркиванием первого столбца и той строки, где этот элемент находится.
В данном случае получим:
_________-lambda__1__0_______________1___0_____0
-lambda *__0_-lambda___1________+ 6 *_-lambda__1___0
_________ 1__7__-1-lambda___________0__-lambda__1

Получаем два определителя матриц размера 3 на 3. Они высчитываются аналогично разложением по первому столбцу.
Ещё надо учесть, что определитель матрицы
a b
c d равен a * d - b * c.

Спасибо большое!!!!!
Вы мне очень помогли=)

Как здесь определялись элементы столбца свободных членов, подскажите, пожалуйста

b1=(x,a1), b2=(x,a2), ...

спасибо большое

Пожалуйста!!!