Пример подобный которому я вам уже показывала.
По вашему совету попыталась применить замену x=1/sin(t), или x=1/cos(t).
Но сразу не посмотрела пределы интегрирования (от 0 до 1/2).
Теперь, когда начала переводить пределы, получается, что sint=2 или cost=2.
А другими способами не получается. Помогите, пожалуйста...

подобный, да не такой. Здесь замена х=sint

я такой вариант тоже уже пробовала. Во только у меня получается интеграл от выражения:
((sin(x))^4/(cos(x))^5)dx.
Если бы в числителе была бы нечетная степень, то я бы решила. А тут...
Если даже вспомнить, что sin(x)/cos(x)=tg(x), то получается [( tg(x))^4]/cos(x)dx.
Нашла рекуррентную формулу. Только не знаю, она только для положительных степеней m и n?

покажите, пожалуйста, полный вывод

Возможно, можно вычислить этот интеграл, используя тригонометрические замены. Но, на мо взгляд, наиболее простой способ - разложение на простые дроби.

может, конечно, я где-то очепяталась, но: решая разложением на элемент.дроби я получила три дроби, со знаменателями (1-x^2), (1-x^2)^2, (1-x^2)^3; получила систему для нахождения коэффициентов, в которой все коэффициенты занулились, кроме одного, который был перед x^4, он получился равным единице. То есть я пришла к той же дроби...
Сейчас еще раз пересчитаю вычисления

Неправильно дроби выбираете. Недораскладываете.

Точно!!!! Там же еще можно 1-x^2 расписать как (1-x)(1+x)!!! Верно?


ничего себе простой . Там столько перемножать, и столько подобных слагаемых приводить!

Раскладывание на элементарные дроби приводит к очень большим вычислениям. Может стоит попробовать по частям:
u=x^3, dv=x/(1-x^2)^3.
Тогда в следующем интеграле степень знаменателя понизится на 1.

да, этим способом точно легче