Здравствуйте. помогите пожалуйста доказать что оператор А и его обратный оператор А в степени (-1) имеют одни и те же собственные векторы.

Ваши идеи где?

Идей нет. Помогите - с чего начать? или план доказательства

может взять любую матрицу,найти обратную ей(т.е. обратный оператор) и найти собственные векторы этих двух матриц и сравнить их

Попробуйте, но это вы докажите в частном случае. А надо в общем.

вот в том то и проблема что не знаю как в общем случае...

Ну пока что пришло в голову. Рассмотрите произвольную матрицу 2-го порядка. Запишите к ней обратную и найдите для каждой матрицы характеристический многочлен. Аналогично попробуйте сделать для матрицы 3-го порядка.

а какая разница?я же вам предложил тоже самое..только вы предложили найти матрицы 2 и 3 порядка. так же частный случай.или я что то не так понял.
вот у нас есть матрица
2 3
2 1 находим обратную ей а потом находим собственные векторы для обоих.
потом 2 матрица
1 4 3
2 4 3
1 3 2 делаем тоже самое. и что дальше?

Можно посмотреть в интернете доказательство этого факта.

в общем случае, если элементы - это а1, а2, а3 и а4, например.


ну или так

сегодня 4 часа потратил на поиски..ничего не нашел.

а как находить обратную матрицу если элементы не конкретные числа а переменные???

а11 а12\1 0
\
а21 а22 \0 1

вот так?как тут найти обратную?

а..я понял как по формуле найти.спасибо за помощь,сейчас попробую...

для 2 го порядка все просто..все сошлось. думаю и для 3 сойдется..но можно ли сделать вывод из этого что оператор А и обратный оператор будут иметь одни и те же собственные векторы.наверно это будет не корректно.
может подскажите еще варианты?

Значит так. Раз существует обратный, значит оператор невырожденный. Значит его ядро нулевое. Смотрим на собственные векторы оператора A. Посмотрим на их образы. Они являются собственными векторами обратного, так если собственный вектор (g) отвечает собственному значению y, то Ag = y * g. А обратный оператор применить к Ag есть g, то есть y * g переходит в g, то есть отвечает собственному значению 1/y. Значит образ любого собственного вектор A есть собственный вектор обратного. Аналогично любой собственный вектор обратного есть прообраз собственного вектора A.
То есть изначальное утверждение неверно - у них не одни и те же собственные векторы, а пропорциональные.
Все понятно?