Требуется исследовать следующий ряд:

∑(n=1 до ∞) (Ctg (n*Pi)/(4*n-2) - sin (n*Pi)/(2*n+1))

Если привести слагаемо в скобках, то получится (cos ( (n*Pi)/(4*n-2) ) - sin^2 ((n*Pi)/(2*n+1))/(sin(n*Pi)/(4*n-2))... Потом думаю можно будет как то привести знаменатели в косинсе и синусах (наверно...)

Подскажите, пожалуйста, каким методом нужно исследовать этот Ряд?

Нужно заметить
sin (n*Pi)=0 при любом n
Ctg (n*Pi) = бесконечности (неопределен) при любом n

Вывод какой?

если правильно помню - Ряд не сходится...так?

Не сходится

Просто самого ряда нет. Так что нет объекта изучения на сходимость.
Поэтому о расходимости тоже говорить нет смысла. Проверьте условие.