Подскажите методику решения:
Условие: Найдите значения параметра a, при каждом из которых все корни уравнения x*(x^2+2*a*x)=a^2*(7*x-4*a) являются решениями неравенства log (0,05x+1,25)

по основанию ‌ 0,1x+1‌‌ >=1.

ОДЗ: 0,05x>-1,25; ‌ 0,1x+1‌ <>1.

I. log (0,05x+1,25) по основанию ‌ 0,1x+1‌‌ >= log ‌ 0,1x+1‌ по основанию ‌ 0,1x+1‌‌ ;
0,05x+1,25>= ‌ 0,1x+1‌ ;

1. 0,1x+1>=0 x>=-10
0,05x+1,25>=0,1x+1 , отсюда x<=5 ; -10<=x<=5;

2. 0,1x+1<0 x<-10
0,05x+1,25>=-0,1x-1 , отсюда x>=-15 ; -15<=x<-10;

Объединяя 1 и 2, получаем :

-15<=x<-10 U -10<=x<=5;

II. Рассматриваем уравнение f(x)=x*(x^2+2*a*x)=a^2*(7*x-4*a) :
f ' (x)=3*x^2+4*a*x-7*a^2=0; x1,2=(-2*a±5*‌ a‌ )/3;

1. a>0, тогда x1=(-7*a)/3; x2=a
x1- точка max ; x2- точка min.

2. a<0, тогда x1=-7a/3;x2=a
x1-точка min, а x2- точка max.

А как делать дальше я не знаю. Я также не пойму, как связать параметр a с x. Подскажите пожалуйста ( если сможете, то напишите решение или ответь подробно на мою просьбу).

"0,1x+1" основание логарифма.
Основание логарифма > 0 и не равно 1.
Т.е. п.I. надо пересмотреть.

Теперь насчет п.II.
На мой взгляд производная здесь ни к чему.
Надо просто решить уравнение (найти х).
x*(x^2+2*a*x)=a^2*(7*x-4*a)
x*(x^2+2*a*x)-a^2*(7*x-4*a) =0
Раскройте скобки, получите кубическое уравнение, один из корней равен а.
Разложите на множители и т.д. и т.п.

А уж потом про то, как "связать параметр a с x"

Всем доброго дня. Моя дочь всегда любила математику, но с переходом в старшие классы уровень сложности задач заметно вырос, и мы стали искать новые способы для помощи. К счастью, на одном из сайтов наткнулась на Reshalnik AI – бот, который производит решение задач по математике и другим предметам. Он оказался настоящим спасением! Бот не просто выдает ответ, но и подробно объясняет каждое действие. Теперь математика больше не вызывает у дочери стресса. Мы можем вместе разбирать сложные задачи, а она учится правильному подходу к их решению. Особенно радует, что бот работает быстро и понятно – достаточно отправить запрос, и через несколько минут получаешь полный разбор. Этот инструмент экономит нам массу времени и нервов, и я уверена, что он пригодится любому школьнику. Огромное спасибо создателям!