Здравствуйте!
Вот задачка:
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=x^2+xy+y^2-6x-9y в данной точке А(1;4;0) этой поверхности
и вот что я нарешала:
x^2+xy+y^2-6x-9y-z=0
F(1;4;0)=-21
F'x=2x+y-6
F'y=x+2y-9
F'z=-1
F'x(1;4;0)=-1
F'y(1;4;0)=0
F'z=-1
Я это правильно решила?
Как мне найти координаты нормального вектора плоскости, подскажите, пожалуйста?

Посмотрите здесь

Спасибо)))) буду изучать)

Пожалуйста!

Здравствуйте еще раз. Почитала вашу ссылку, попыталась разобраться. В итоге у меня следующее:
dz/dx=2x+y-6
dz/dx(A)=0
dz/dy=x+2y-9
dz/dy(A)=0
Fz=-1
N={0;0;-1}
(x-1)/0=(y-4)/0=(z-0)/-1 - уравнение нормали
0(х-1)+0(у-4)-1=0 - уравнение касательной
Это правильно? Скажите, пожалуйста.

Точка (1,4,0) не принадлежит поверхности, может быть (1,4, -39) или уравнение поверхности в правой части содержит слагаемое +39?
В последнем случае уравнение нормали найдено верно, а касательной плоскости - нет, посмотрите, что Вы написали:

0(х-1)+0(у-4)-1=0 это просто -1=0, то есть вообще не уравнение, а ложное равенство.

дело в том, что у нас в методичках куча ошибок. Уточнила про точку, она имеет координаты А(1,4,Zo)
в таком случае как быть?

0(х-1)+0(у-4)-1=0 это просто -1=0, то есть вообще не уравнение, а ложное равенство. - что касается этого, то когда в первом семестре мы проходили векторную геометрию случались ситуации когда нормальный вектор имел координаты п={0,0,-1} и уравнение касательной мы написали так как предложили вы. В итоге преподаватель нам все зачеркнул и заставил писать так в каком виде я изложила. Честно, в высшей математике я не сильна и не знаю как правильно, делаю так как удовлетворяет преподавателя. Если вам не сложно, поясните пожалуйста с точкой как быть?

Стало быть Zo=-39 - находится из условия, что точка (1,4 , Zo) лежит на поверхности, то есть удовлетворяет уравнению - проверьте, вдруг я в арифметике ошибся.
Нормальный вектор к поверхности Вы нашли верно, ну дык теперь всего лишь и осталось написать уравнения
1) прямой, проходящей через известную точку (1,4 , Zo) с известным направляющим вектором и
2) касательной плоскости, проходящей через ту же точку и имеющую известный нормальный вектор.
Это потребует всего по одному исправлению в Ваших написанных уравнениях.

(x-1)/0=(y-4)/0=(z-zo)/-1 - уравнение нормали
0(х-1)+0(у-4)-1(z-zo)=0
может так?

Так, но Zo ведь конкретное, кроме того, почему бы не упростить
в 1) умножить на -1 все три знаменателя, в 2) так и оставим 0 умноженный на что-то? Что будет если что-то умножить на 0?

Кстати, про смысл нуля в знаменателях в 1) Вы слышали, что это означает?

Слышать не слышала, но что тоа бывает знаю)))
как вы считали zо если не секрет?

x^2+xy+y^2-6x-9y-z=0. Вместо х подставляете 1, у - 4, Z - Zo. Решаете полученное уравнение относительно Zo.

Здравствуйте. Я так и считала, только у меня получается не - 39, а -21, поэтому и спросила как посчитать.

И у меня -21 получилось.

Большое вам СПАСИБО

Ну да Zo=-21, но я предупреждал

С экрана плохо считать, а на бумажке записать поленился, вот и спутал 6x с 6y.