Исследовать на равномерную сходимость ряд: сумма n от 1 до бесконечности
arctg((2x)/((x^2+n^3)^(1/2))). Наверное, надо использовать признак Вейерштрасса, только не пойму с каким рядом сравнивать. Помогите, пожалуйста.

arctg (2x) < pi/2
1/((x^2 + n^3)^(1/2)) <= 1/(n^3)^(1/2) = 1/n^(3/2).
Получаем, что исходный ряд <= pi/2 * 1/n^(3/2) => ряд сходится равномерно при действительных х.

там же берется arctg всей дроби (2x)/((x^2+n^3)^(1/2)). или это я что-то не понимаю?

Тогда по другому, раз арктангенс от всей дроби. В знаменателе точно корень стоит?

точно, я ошиблась, нет там корня. а можно тогда использовать неравенство a+b>=2(ab)^(1/2)? тогда можно сравнить с рядом arctg(1/n^(3/2)). правильно или нет?

Лучше немного по другому записать и рассмотреть случаи:
1) х = 0 => тогда все ясно
2) x > 0 =>
a^2 + b^2 >= 2ab, где ab > 0
Тогда 1/(a^2 + b^2) <= 1/(2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(2x * n^(3/2)) = arctg 1/n^(3/2)
А этот ряд сходится.
3) x < 0 =>
a^2 + b^2 >= -2ab, где ab < 0
Тогда
1/(a^2 + b^2) <= 1/(-2ab)
Получаем, что
arctg 2x/(x^2 + n^3) <= arctg 2x/(-2x * n^(3/2)) = -arctg 1/n^(3/2)
Ряд сходится.

Большое спасибо!