Очевидно, это должно быть легко... Но что-то я не разобрался.

f(z)=(sin(z))/(1 - cos(z)) - это в точке п/2 вроде бы получается...

Как его находить?
Если нетрудно - крааатенький алгоритм бы... Для тупых.
:)

Добро, если в знаменателе нечто вроде (z-z0) находится... Тогда формула для вычисления есть.
А что мне с этим косинусом делать - не знаю...
Пришла в голову идея по аналогии посчитать этот вычет как
предел при z -> п/4 от (sin(z))*(1 - cos(z))/(1 - cos(z)),
но у меня серьезные сомнения возникают в правильности такого решения...
И кажется мне, что сомнения обоснованные вполне.

1. Находим особые точки.
2. Определяем тип этих точки.
3. Находим формулы, по которым для них вычитаются вычеты.
4. Вычисляем искомые вычеты.

1) Особые точки: z= п/2 + 2пk, k принадлежит Z, то есть целые;
2) Это всё - полюсы первого порядка;
3) Получается, если верить конспекту, нечто вроде (если брать полюс п/2 - он-то мне и нужен)

предел при z-> п/2 (sin(z))*(z-п/2)/(1-cos(z))...

То ли конспект врет, то ли студент тупой пошел, как пробка - но я не представляю, как оно считается...
:(

Просто есть другая формула, по которой считается устно. Если z0 - полюс 1 порядка функции f(z)/g(z), то вычет этой функции в точке z0 равен
Res = f(z0)/g'(z0)

посмотрите здесь.

Да, студент и вправду пошел тупой... Гнать нас надо.
:(
...
Спасибо большое за помощь... Буду считать.
:)

За ссылку - отдельное спасибо...
Буду всё помаленьку выверять и систематизировать.

Можно конечно вычислить и по формуле умножения.
Только там получается не pi/2 + 2pi * k, а 2pi * k
Например для 0:
lim(z->0) sin z * z/(1 - cos z) =
= lim(z->0) sin z * z/(2 * sin^2 z/2) =
= lim (z->0) z * z/(2 * (z/2)^2) = 2
Да, к тому же 0 - это полюс не первого порядка, а второго.
Так как f(z) = 1 - cos z.
f(0) = 0
f'(z) = sin z, f'(0) = 0
f''(z) = cos z, f''(0) <> 0
0 - полюс второго порядка.

зря вы так на себя. Если бы все студенты так стремились что-то узнать, то...ох


да не за что. Наберите в поисковике "вычисление вычетов", еще много чего будет читать. Удачи.

Да, с п/2 я явно погорячился...
Впрочем, надо будет пересчитать тогда...
Тогда всё вроде бы поддается подсчетам.
Попробую.
...
Что-то некрасивое получается... Ноль?

По какой формуле считали?

Вроде бы она...
...
"Если а - полюс функции f(z) n-го порядка, то "

Полюс второго порядка; дифференцируем один разок.
...
Итого у меня получилось...
Ай. Я же запутал, наверное...
У меня просто пример другой... Там синус в кубе.
Неактуально - формула применяется и результат выдает... Это я всех тут путаю. Извините.

Ну да, формула правильная. Ну примените её, напишите, что у вас получится. Желательно поподробнее... А мы посмотрим.

ну а знаменатель-то без куба. Так что как был у нас простой полюс, так он и остался.

Ну, если f(z)=((sin(z))^3)/(1-cos(z)),то вроде бы полюс считается по формуле

lim(z->0) ((sin(z) + 3z(sin(z))^3)*(1-cos(z)) - z(sin(z))^4)/(1 - (cos(z))^2) ...

Вроде бы так...

z^2 * f(z) = z^2 * sin^3 / (1 - cos)
(z^2 * f(z))' = ((2z * sin^3 + 3z^2 * sin^2 * cos) * (1 - cos) + z^2 * sin^4)/(1 - cos)^2

Верно... В первой скобке ошибку влепил... Время позднее... Скоро спать уйду.
А тут вроде бы при z->0 неопределенность вида 0/0... Ещё дифференцировать, что ли, как Лопиталь завещал?

Можно просто заменить Sin z на z.
lim (z->0) (z^2 * f(z))' =
((2z * sin^3 + 3z^2 * sin^2 * cos) * (1 - cos) + z^2 * sin^4)/(1 - cos)^2
= lim (z->0) ((2z * sin^3 + 3z^2 * sin^2 * cos) * (1 - cos) + z^2 * sin^4)/(1 - cos)^2 =
= lim (z->0) ((2z^4 + 3z^4) * 2 * sin^2 (z/2) + z^6)/(2 * sin^2 (z/2))^2 =
= lim (z->0) (10z^4 * (z/2)^2 + z^6)/(2 * (z/2)^2)^2 =
= lim (z->0) (5/2 * z^6 + z^6)/(z^4/4) = 0
Вроде и правда ноль получается.

Ноль - это хорошо.
Это очень даже замечательно, что ноль.
Там потом в решении, я надеюсь, здОрово всё посокращается...
...
Вот заменить на эквивалентные у меня бы соображалки не хватило... Я бы упорно дифференцировал. До посинения лица и одеревенения конечностей.
Надо бы запомнить.

Ушел спать... Почти.
Ещё раз спасибо за помощь.
Удачи вам.
:)

Исправил сообщение.

правильно, утро вечера мудренее.