Пробовал решить используя признак Даламбера, но получается еденица.....рационально решать используя предельный признак сравнения, но не могу подобрать ряд...(Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Сравнивайте (в предельной форме) с рядом

1/n^(3/2)

При вычислении соответствующего предела пользуйтесь заменой эквивалентных бесконечно малых:

1-cosa~(1/2)*a^2

Ага, спасибо большое, все получилось.....

Существует много различных решений подобным проблемам. Главное - развить свою интуицию. Заметьте, что n^(1/2) растет давольно быстрее чем 1 - cos(1/(n+1)) уменьшается. А это значит, что придел n^(1/2)(1 - cos(1/(n+1))) > 0. Но мы знаем, что если ряд сходится, то придел его терминов должен сходиться к нулю. Вычислите придел n^(1/2)(1 - cos(1/(n+1))), когда n сремиться к бесконечности, используя правила, знакомые вам из дифференциального анализа.