Здравствуйте! Задача: найти оригинал по данному изображению 2p/(p^2+4p+8)^2. Как правильно разложить такую дробь на сумму простейших для решения? Или проще решать через вычеты?

-1/((p+2)^2+4)+(p+2)^2/((p+2)^2+4)^2+2*(p+2)/((p+2)^2+4)^2

Я беру t=p+2. Потом разложим как (Аt+/(t^2+4)+(Ct+D)/(t^2+4)^2 - но не получается... в чем ошибка?

Дробь не раскладывается на простейшие!

В Вашем случае
2p/(p^2+4p+8)^2=2p/((p+2)^2+4)^2=2[(p+2-2)/((p+2)^2+4)^2]
=2[(p+2)/((p+2)^2+4)^2 -2*1/((p+2)^2+4)^2]
Дальше открываете справочник, например Г.Корн "Справочник по математике" (стр.251, скачать можно здесь http://physicsbooks.narod.ru/Mathemat.html ) и пользуетесь формулами обратного перехода

(p-a)/[(p-a)^2+b^2] == (1/2b)*t*e^(a*t)*sin(b*t)
1/[(p-a)^2+b^2] == (1/2b^3)*e^(a*t)*(sin(b*t)-b*t*cos(b*t))


Ответ:
(1/2)*t*exp(-2*t)*sin(2*t)-(1/4)*exp(-2*t)*(sin(2*t)-2*t*cos(2*t))



P.S. Для удобного пользования формулами представить (p+2)=(p-(-2))