Исследовать на сходимость ряд Сумм от 1 до бесконечности (arctg(n^2)/(n*(n+1)(n+2))
Какой признак сходимости лучше применить?

сравнения.

а с каким рядом сравнивать?

Используем такой признак: если a_n ~ b_n при n -> 00, то ряды a_n и b_n сходятся или расходятся одновременно.
В данном случае
arctg n^2 -> 0 (n -> 00)
n^2 -> 0 (n -> 00)
arctg n^2/(n^2) -> 1 (n -> 00)
Следовательно, arctg n^2 ~ n^2, поэтому можно сделать такой переход - от исходного ряда к ряду с заменой на n^2.
Тогда исходный ряд сравниваем с рядом Сумм (от 1 до ∞) 1/n
Получается lim n->∞ (arctg(n^2)/(n^3+3n^2+2n))/(1/n))=lim n->∞ (n^2*n/(n^3*(1+3/n+2/n^2))=
=lim n->∞ (n^3/n^3)=1
Интегральный признак
Интеграл(от 1 до ∞) (dx/x)=lim (b->∞)Интеграл(от 1 до (dx/x)=lim (b->∞) ln(x)(от 1 до =
=lim (b->∞)(ln(-ln(1))=∞
Ряд Сумм (от 1 до ∞) 1/n расходится,значит и наш ряд расходится.
Я правильно решила?

Вообще-то arctg(n^2)->Pi/2, так что решение неправильное с самого начала. Ниже тоже ужасно (хотя из-за начального косяка вообще к теме не относится) @.@
как может n^2 -> 0, если это oo^2 ?

n/(n*(n+1)(n+2))

а в итоге ряд расходится?

а у вас как получилось?

у меня получилось,что расходится

1/n^3