Подскажите,пожалуйста, как надо решать:
Условие: Найдите все значения параматра а, при которых нер-во a*sin^2x+2*(a-3)*sinx+a+7=0 выполняется для любых значениях х.

Выполним замену t=sinx; at^2+2*(a-3)*t+a+7>0;
y=at^2+2*(a-3)*t+a+7
D=(2*(a-3))^2-4*a*(a+7)=4*(9-13*a)

Нер-во выполняется для любых х, если:
1) a<0;D<0
2)a>0;D>0

(1),(2)=0<a<9/13

А как связать а с t я не знаю.Подскажите пожалуйста.

Очень похожий пример на Ваш
http://www.prepody.ru/topic532.html

И не забудьте случай а=0

Я просмотрел тему, но так и не понял. Не могли бы вы помогь граммотно записать решение нер-ва?Пожалуйста, очень вас прошу.

Хе-хе... Ну, с граммотностью тут разговор особый.
А по поводу неравенства - тут надо в основном не на дискриминант смотреть, а на то, какие значения может принимать t (ведь это бывший синус!). И именно при этих значениях наше (точнее Ваше) неравенство должно выполняться, а остальное неважно.

Подскажите,пожалуйста, как правильно это записать.

Для удобства можно вынести а за скобки (в скобках получится полный квадрат), а потом сделать еще одну замену t+1=z. Тогда параметр останется только перед квадратом. Ну а дальше - исследуйте.

Как правильно ЗАПИСАТЬ - подскажем.

Че-то исследование никуда не хляет. Если вам не трудно, не могли бы вы помочь правильно исследовать функцию(если можно в письменном виде), пожалуйста.