подскажите, пожалуйста, как дорешать данный интеграл

(e^(-x^2))*(x^2)dx

после замены x^3=t получился 1/3 интеграл от e^(-t^2/3)dt

какой?

файл не загрузить, пришлось написать в строчку....

Один раз по частям и получаем интеграл вероятностей, именуемый также функцией Гаусса-Лапласа. Эта функция неэлементарна. http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/055/344.htm
Через элементарные функции не выразима.

PS. Если хотите более подробно, погуглите сами.

но в вашем примере - определенный интеграл!?

вот по частям...
http://slil.ru/28186799

Не видели что ли функций, у которых переменной является верхний предел интегрирования? Так любую дифференцируемую функцию записать можно, а уж для неэлементарной - это самый ходовой способ.

т.е. если я преподавателю в контрольной работе напишу свое решение (как в файле - по частям). и оставлю недорешенным. то думаете все нормально будет????

Настройки моего компьютера не позволяют мне шляться где попало, вот и скачивание Вашего файла заблокировал - возможно там вирус. В исключительном случае я мог бы и нарушить запрет, но это не тот случай.
Надеюсь Вы и сами сумели в один шаг по частям правильно свести интеграл к другому, неэлементарность которого Вашему преподавателю известна.