исследовать сходимость числового ряда Нажмите для просмотра прикрепленного файла. подскажите с чего решать начать?

С рассмотрения признаков сходимости. Например, интегрального признака Коши.

lim(n стремиться к бесконечности) [n*ln^2(n)]/(n+1)(ln(n+1))^2 =1
а потом найти:int(от 1 до +бессконечности) dx/x*ln^2(x) ?

Да, только можно сразу интеграл искать от функции
1/((x + 1) * ln^2 (x+1))

а значение интеграла такое получается: 1/lnx +x^2 ?

нет

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Зачем Вы по частям интегрируете,да ещё и dv неправильно нашли?Проще сразу внести ln(x) под знак дифференциала.