Вот не пойму откуда тут берётся 1-(1/(2n+3))
edu.chuvashia.name/rows.files/image001.jpg

раскройте скобки и посмотрите, что взаимо уничтожется.

Hе понимаю.
Sn - это сумма n-слогаемых..
1-(1/(2n+3)) - это формула, с помощью которой можно получить сумму слогаемых в зависимости от n..
Это как раскрыть скобки?
Ещё не ясно почему пишут Sn = (1-1/3)+(1/3-1/5)+.. Ведь если n = 1, то сумма будет равна 1-1/3. Это я так понял просто обозначение такое?

Сначала дробь представили в виде суммы двух дробей (разложили на простейшие дроби). Это понятно?

Это - да.
А вот как нашли сумму n-членов не ясно
Это надо просто увидеть закономерность или можно как-то посчитать?

S_n = a_0 + a_1 + ... + a_n
Каждый a_n представляем в виде разности дробей. Это тоже ясно?

Да

Дальше раскрываем скобки и получаем следующее
1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/(2n + 1) - 1/(2n + 3)

Понятно. А откуда получается Sn = 1-(1/(2n+3))?

Тут если смотреть, S2 = 1-1/3+1/3-1/5 = 1 - 1/5
При подстановке в формулу получается S2 = 1 - 1/7

Там ведь суммирование от 0,а не от 1.

Точно)
Остаётся непонятным - как получается Sn = 1-(1/(2n+3))?

Здесь взаимно уничтожаются все слагаемые кроме первого и последнего.

А, точно.
Cпасибо.