вот что пытался делать

Третья строка: сделали замену. Что потом из замены следует?

что это интеграл из таблицы

t^2dt

??
x^3+7=t^3 => 3t^2+7=t^3

Что это?

это я пытался интегрировать нижнюю часть, но видать не удачно

То, что под корнем берем за новую переменную. Тогда dt=3(x^2)dx. Или x^2dx=(1/3)dt.

Взято немного иначе, подкоренное выражение равно t^3 (чтобы от кубического корня избавиться)

Т.е.
x^3+7=t^3
d(x^3+7)=d(t^3)
3x^2dx=3t^2dt
x^2dx=t^2dt